Question

7．已知实数对（x，y）满足方程（x-2）²+y²=3，记$\frac{y}{x}$的最小值，最大值分别为a，b，则a²+b²=6．

Answer 1

分析 设$\frac{y}{x}$=t，则y=tx，则得到关于x的一元二次方程（1+t²）x²-4x+1=0，利用判别式的意义得到t²≤3，解得-$\sqrt{3}$≤t≤$\sqrt{3}$，于是得到a=-$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$，然后计算a²+b²的值．

解答 解：设$\frac{y}{x}$=t，则y=tx，
∵（x-2）²+y²=3，
∴x²-4x+4+t²x²=3，
即（1+t²）x²-4x+1=0，
△=16-4（1+t²）≥0，
化简得t²≤3，
∴-$\sqrt{3}$≤t≤$\sqrt{3}$，
∴a=-$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$，
∴a²+b²=3+3=6．
故答案为6．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．