Question

把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG(其直角边长均为4)叠放在一起(如图①)，且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点顺时针旋转(旋转角a满足条件：＜a＜)，四边形 CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分(如图②)．

(1)在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；

(2)连接HK，在上述旋转过程中，设BH＝x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)在(2)的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(l)在上述旋转过程中，BH＝CK，四边形CHGK的面积不变．证明：连结CG∵△ABC为等腰直角三角形，O(G)为其外边中点，∴CG＝BG，CG⊥AB，∴∠ACG＝∠B＝，∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，∴∠BGH＝∠CGK，∴△BGH≌△CGK，∴BH＝CK，S△BGH＝S△CGK，∴S四边形CHGK＝S△CHG＋S△CGK＝S△CHG＋S△BGH＝S△ABC＝××4×4＝4，即S四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化; 　　(2)∵AC＝BC＝4，BH＝x，∴CH＝4－x，CK＝x，由S△GHK＝S四边形CHGK－S△CHK，得y＝4－x(4－x)，∴y＝x2－2x＋4，∵＜α＜，0＜x＜4; 　　(3)存在．根据题意得x2－2x＋4＝×8，解这个方程得x1＝1，x2＝3，即当x＝1或x＝3时，△GHK的面积均等于△ABC面积的．