Question

把两个全等的等腰直角三角板△ABC和△EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图1），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图2）．在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论．

Answer 1

分析：利用旋转的性质，图形的形状和大小不变，可以得到角的度数没有变化，进一步可以得到∠BGF=∠BGE，得证△BGH≌△CGK，全等三角形的面积相等，则四边形CHGK的面积等于△BGC的面积，所以四边形CHGK的面积不变．

解答：解：在上述旋转过程中，BH=CK，四边形CHGK的面积不变．
证明：
∵△ABC为等腰直角三角形，G（O）为其斜边中点，
∴CG=BG，CG⊥AB，且S_△BCG=

1

2

S_△ABC．
∴∠ACG=∠B=45°．
∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，
∴∠BGH=∠CGK．
在△BGH和△CGK中，

∠B=∠ACG=45° BG=CG ∠BGH=∠CGK

∴△BGH≌△CGK．
∴BH=CK，
S_△BGH=S_△CGK．
∴S_{四边形CHGK}=S_△CHG+S_△CGK=S_△CHG+S_△BGH=S_△BCG=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

×4×4=4．
即：旋转过程中，BH=CK，S_{四边形CHGK}的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化．

点评：本题考查的是旋转的性质以及全等三角形的判定的综合运用，难度中上．