Question

1．如图，已知点P为正方形ABCD内一点，∠BAP=∠BCP=15°．
（1）求证：AP=CP；
（2）若E为AP延长线上一点，且BE=BC，试问：线段AP、BP、PE之间存在怎样的数量关系？请写出这个关系式，并加以证明；
（3）CP=2时，AD的长为$\sqrt{6}$．（直接写出结果，不需要写过程）

Answer 1

分析 （1）只要证明∠PAC=∠PCA即可．
（2）连接CE，在PE上截取一点N使得CN=CP，先证明△BCE，△CPN多少等边三角形，再证明△CBP≌△CEN即可解决问题．
（3）延长BP交AC于点O，在RT△POC中求出OC，即可解决问题．

解答 （1）证明：如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠BAP=∠BCP=15°，
∴∠PAC=∠PCA=30°，
∴PA=PC．
（2）结论：PE=PA+PB．
证明：连接CE，在PE上截取一点N使得CN=CP，
∵BE=BC=AB，
∴∠BAE=∠BEA=15°，
∴∠ABE=180°-∠BAE-∠BEA=150°，∵∠ABC=90°，
∴∠CBE=60°，∵BC=BE，
∴△BCE是等边三角形，
∴CE=CB=BE，∠BCE=60°，
∵∠PCK+∠CPK+∠CKP=180°，∠BKE+∠KBE+∠BEK=180°，∠PKC=∠BKE，∠PCK=∠AEB=15°，
∴∠CPK=∠KBE=60°，∵CP=CN，
∴△CPN是等边三角形，
∴∠PCN=∠BCE=60°，CP=CN=PN，
∴∠PCB=∠ECN，
在△CBP和△CEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CE}\\{∠PCB=∠ECN}\\{CP=CN}\end{array}\right.$，
∴△CBP≌△CEN，
∴PB=EN，∵PA=PC=PN，
∴PE=PN+NE=PC+PB=PA+PB．
（3）延长BP交AC于点O，
∵PA=PC，BA=BC，
∴PB垂直平分线段AC，
∴AO=OC，∠POC=90°，
∵∠PCO=30°，PC=2，
∴PO=$\frac{1}{2}$PC=1，OC=OA=$\sqrt{P{C}^{2}-P{O}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
设AD=CD=a，则a²+a²=（2$\sqrt{3}$）²，
∵a＞0，
∴a=$\sqrt{6}$，
∴AD=$\sqrt{6}$．
故答案为$\sqrt{6}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，出现60°要想到这种辅助线的添加方法，属于中考常考题型．