Question

阅读下列材料：
∵

1

1×3

=

1

2

(1-

1

3

)，

1

3×5

=

1

2

(

1

3

-

1

5

)，

1

5×7

=

1

2

(

1

5

-

1

7

)…

1

17×19

=

1

2

(

1

17

-

1

19

)
∴

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+

1

7×9

+…+

1

17×19

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

17

-

1

19

)=

9

19

解答问题：
（1）在式

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

…中，第六项为

 

，第n项为

 

，上述求和的想法是通过逆用

 

法则，将式中各分数转化为两个实数之差，使得除首末两项外的中间各项可以

 

从而达到求和的目的；
（2）解方程

1

x(x+2)

+

1

(x+2)(x+4)

+…+

1

(x+8)(x+10)

=

5

24

．

Answer 1

分析：（1）分子都是1，分母的两个因式里是两个相邻的奇数．
（2）

1

x(x+2)

=

1

2

×（

1

x

-

1

x+2

）后面的式子依此类推，使得除首末两项外的中间各项可以相互抵消从而达到求和的目的．

解答：解：根据以上分析（1）

1

11×13

；

1

(2n-1)(2n+1)

；分式的加减法，相互抵消．

（2）化简得；

1

x

-

1

x+2

+

1

x+2

-

1

x+4

+…+

1

x+8

-

1

x+10

=

5

24

，

1

2

×（

1

x

-

1

x+10

）=

5

24

方程两边都乘24x（x+10），得
12（x+10）-12x=5x（x+10）
解得x=-12或x=2
经检验x=-12和x=2为原方程的解．

点评：解决本题的关键是理解题意，找到规律进而简化式子，注意解分式方程需要验根．