Question

11．已知关于x的方程x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0．
（1）求证：无论m取什么数，方程总有两个实数根；
（2）若已知方程有一个实数根是2，试求出另一个实数根．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=（m-1）²≥0，由此即可证出无论m取什么数，方程总有两个实数根；
（2）将x=2代入原方程可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，设方程的另一根为x₀，根据根与系数的关系即可得出关于x₀的一元一次方程，解之即可得出方程的另一个实数根．

解答 （1）证明：∵在方程x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0中，△=（-m）²-4×1×（$\frac{m}{2}-\frac{1}{4}$）=m²-2m+1=（m-1）²≥0，
∴无论m取什么数，方程总有两个实数根；
（2）解：将x=2代入原方程得：4-2m+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0，
解得：m=$\frac{5}{2}$．
设方程的另一根为x₀，
则有：2+x₀=m=$\frac{5}{2}$，
∴x₀=$\frac{1}{2}$．
∴若已知方程有一个实数根是2，则另一个实数根为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据根的判别式找出△=（m-1）²≥0；（2）将x=2代入原方程求出m的值．