Question

10．在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴负半轴交于点A，点M在⊙O上，将点M绕点A顺时针旋转60°得到点Q．点N为x轴上一动点（N不与A重合），将点M绕点N顺时针旋转60°得到点P．PQ与x轴所夹锐角为α．
（1）如图1，若点M的横坐标为$\frac{1}{2}$，点N与点O重合，则α=60°；
（2）若点M、点Q的位置如图2所示，请在x轴上任取一点N，画出直线PQ，并求α的度数；
（3）当直线PQ与⊙O相切时，点M的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）或（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据圆周角定理可求出∠MAP、∠AQP，再根据∠MAQ可依次求出∠PAQ，∠APQ；
（2）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，如图2，由题可得：△MAQ和△MNP均为等边三角形，由此可证到△AMN≌△QMP，则有∠MAN=∠MQP．根据三角形外角的性质可得到∠MAN+∠AMQ=∠AEQ=∠MQP+∠AFQ，从而可得到∠AFQ=∠AMQ=60°（即α=60°）；
（3）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，MF，OM，过点M作MH⊥x轴于H，设PQ与⊙O相切于点G，连接OG，如图3①、图3②．则有∠OGF=90°．由（2）可得∠AFQ=∠AMQ=60°，由此可得A、M、F、Q四点共圆，根据圆周角定理可得∠AFM=∠AQM=60°．在Rt△OGF中运用三角函数可求得OF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，在Rt△MHF中运用三角函数可得$\frac{MH}{HF}$=$\sqrt{3}$．设HF=x，则MH=$\sqrt{3}$x，OH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-x．在Rt△OHM中运用勾股定理可求出x，从而可得OH，MH，就可得到点M的坐标．

解答 解：（1）如图1，

∵∠MOP=60°，∴∠MAP=30°．
∵∠MAQ=60°，∴∠QAP=30°．
∵AP是⊙O的直径，
∴∠AQP=90°，
∴∠APQ=60°，即α=60°．
故答案为60；

（2）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，如图2．

由题可得：△MAQ和△MNP均为等边三角形，
∴MA=MQ，MN=MP，∠AMQ=∠NMP=60°，
∴∠AMN=∠QMP．
在△AMN和△QMP中，
$\left\{\begin{array}{l}{MA=MQ}\\{∠AMN=∠QMP}\\{MQ=MP}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△QMP，
∴∠MAN=∠MQP．
∵∠AEQ=∠MAN+∠AMQ，∠AEQ=∠MQP+∠AFQ，
∴∠AFQ=∠AMQ=60°，
∴α的度数为60°；

（3）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，MF，OM，
过点M作MH⊥x轴于H，设PQ与⊙O相切于点G，连接OG，如图3①、图3②．

则有∠OGF=90°．
由（2）可得∠AFQ=∠AMQ=60°，
∴A、M、F、Q四点共圆，
∴∠AFM=∠AQM=60°．
∴在Rt△MHF中，tan∠HFM=$\frac{MH}{HF}$=$\sqrt{3}$．
在Rt△OGF中，sin∠OFG=$\frac{OG}{OF}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵OG=1，∴OF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
设HF=x，则MH=$\sqrt{3}$x，OH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-x．
在Rt△OHM中，由勾股定理可得：
（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-x）²+（$\sqrt{3}$x）²=1²，
解得x₁=x₂=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴OH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，MH=$\frac{1}{2}$，
∴点M的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）或（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
故答案为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）或（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、四点共圆的判定、等边三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，在△OMF中求出OF及∠OFM是解决第（3）小题的关键．