Question

20．如图，在△ABC中，D为AC上一点，AB=CD，F是AD的中点，M为BC的中点，连结MF并延长交BA延长线于点E，G为EF的中点，求证：AG⊥ME．

Answer 1

分析 连接BD，取BD的中点为O，连接FO，MO，易证MO是△BCD的中位线，FO是△ABD的中位线，进而可证明MO∥AC，OF∥AB，再证明∠AEF=∠AFE，由此可得AE=AF，最后根据等腰三角形的性质即可证明AG⊥ME．

解答 证明：
连接BD，取BD的中点为O，连接FO，MO，
∵F是AD的中点，M为BC的中点，
∴MO是△BCD的中位线，FO是△ABD的中位线，
∴MO=$\frac{1}{2}$CD，FO=$\frac{1}{2}$AB，MO∥AC，OF∥AB，
∵AB=CD，
∴MO=FO，
∴∠OFM=∠OMF，
∵OF∥AB，
∴∠OFM=∠AEF，
∵OM∥AC，
∴∠OMF=∠CFM=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵G为EF的中点，
∴AG⊥ME．

点评 本题考查了三角形的中位线定理、等腰三角形的判断和性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，有一定难度．