Question

10．如图，在△ABC中，BC=BA，点F是AC上一点．点D是BF上一点，且∠CDF=∠CBA，AE∥CD交BF延长线于E．探究线段BD与EA的数量关系．

Answer 1

分析 在线段BE上取一点M，使得AM=AE，由∠CDE=∠ABC得∠DCB+∠CBD=∠CBD+∠ABD故∠BCD=∠ABD，再由CD∥AE推出∠BDC=∠AMB即可证明△BDC≌△AMB得出结论．

解答 解：结论：BD=AE，理由如下：
在线段BE上取一点M，使得AM=AE，
∵CD∥AE，
∴∠CDE=∠E，
∵AM=AE，
∴∠E=∠AME=∠CDE，
∵∠BDC=180°-∠CDE，∠AMB=180°-AME，
∴∠BDC=∠AMB，
∵∠CDE=∠ABC，
∴∠DCB+∠CBD=∠CBD+∠ABD，
∴∠BCD=∠ABD，
在△BDC和△AMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠ABM}\\{∠CDB=∠AMB}\\{BC=BA}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△AMB，
∴BD=AM，
∵AM=AE，
∴BD=AE．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．