Question

20．已知，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．
（1）求四边形AQMP的周长；
（2）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质可得到对应角相等对应边相等，从而不难求得其周长；
（2）根据中位线的性质及菱形的判定不难求得四边形AQMP为菱形．

解答 解：（1）∵AB∥MP，QM∥AC，
∴四边形APMQ是平行四边形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠PMC=∠QMB．
∴BQ=QM，PM=PC．
∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a；

（2）当点M在BC的中点时，四边形APMQ是菱形，
∵AB∥MP，点M是BC的中点，
∴$\frac{CM}{CB}$=$\frac{CP}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴P是AC的中点，
∴PM是三角形ABC的中位线，
同理：QM是三角形ABC的中位线．
∵AB=AC，
∴QM=PM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC．
又由（1）知四边形APMQ是平行四边形，
∴平行四边形APMQ是菱形．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定和性质，中位线的性质，菱形的判定等知识点的综合运用．