Question

6．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，P为BC中点，D是BC上的任意一点，DE⊥AC，DF⊥AB，若AE=$\sqrt{2}$，BC=8，则PE=$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 由△ABC是等腰直角三角形得出∠B=45°，AB=AC，求出∠BDF=45°，得出BF=DF，证得四边形AEDF为矩形，连接AP，由等腰三角形三线合一与直角三角形斜边上中线的性质得出AP⊥BC，∠PAC=45°，AP=$\frac{1}{2}$BC=BP，由SAS证得△BPF≌△APE，得出PE=PF，∠APE=∠BPF，证得△EPF为等腰直角三角形，求出EF的长，即可得出结果．

解答 解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠B=45°，AB=AC，
∵DF⊥AB，
∴∠BDF=45°，
∴BF=DF，
∵DE⊥AC，
∴四边形AEDF为矩形，
∴AE=DF=BE=$\sqrt{2}$，
连接AP、EF，如图所示：
∵P为BC中点，
∴AP⊥BC，∠PAC=45°，AP=$\frac{1}{2}$BC=BP，
在△BPF和△APE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF}\\{∠PAE=∠PBE=45°}\\{AP=BP}\end{array}\right.$，
∴△BPF≌△APE（SAS），
∴PE=PF，∠APE=∠BPF，
∴∠EPF=90°，
∴△EPF为等腰直角三角形，
∵BC=8，
∴AB=4$\sqrt{2}$，
∴AF=3$\sqrt{2}$，
EF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{18+2}$=2$\sqrt{5}$，
∴PE=$\sqrt{10}$，
故答案为$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查的是矩形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上中线的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握勾股定理与等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．