Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，E是BC的中点．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点E作EF⊥DE，交AB于点F．若AC=3，BC=4，求DF的长．

Answer 1

考点：切线的判定,解直角三角形

专题：

分析：（1）连结OD，CD，求出DE=CE=BE，推出∠1+∠3=∠2+∠4，求出∠ACB=∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可．
（2）根据勾股定理求出AB=5，解直角三角形得出cosB=

BC

AB

=

4

5

，求出DE，推出∠EDF=∠B，解直角三角形求出即可．

解答：（1）证明：连结OD，CD，
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDC=180°-∠ADC=90°，
∵E是BC的中点，
∴DE=

1

2

BC=CE，
∴∠1=∠2．
∵OC=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
即∠ACB=∠ODE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ODE=90°，
又∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线． 

（2）解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴cosB=

BC

AB

=

4

5

，
∵E是BC的中点，
∴DE=

1

2

BC=BE=2，
∴∠5=∠B，
∴cos∠5=

DE

DF

=

4

5

，
∴DF=

5

4

DE=

5

2

．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形斜边上的中线性质，解直角三角形，切线的判定的应用，注意：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．