Question

正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF．
（1）如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG的关系为：

 

； 
（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FQ，连接EQ，试猜想EF、EQ、BP的数量关系，并证明．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,旋转的性质

专题：

分析：（1）如图1，连接AC、BD．根据“三角形中位线定理”和“正方形的对角线互相垂直平分且相等”的性质进行推理；
（2）通过证明△QFE≌△PFG（SAS），得到该全等三角形的对应边相等：QE=PG．则EQ+EF=GP+GF．由BG=

2

2

FG=

2

2

EF得到GP+BG=GP+

2

2

EF=BP，即EQ+

2

2

EF=BP．

解答：解：（1）EF⊥GF且EF=GF．理由如下：
如图1，连接AC、BD．
∵点E、F分别是边AD、AB的中点，
∴EF∥BD，且EF=

1

2

BD．
又∵点G是边BC的中点，
∴FG∥AC，且FG=

1

2

AC，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC=BD，
∴EF⊥FG且EF=FG．
故答案是：EF⊥FG且EF=FG；

（2）EQ+

2

2

EF=BP．理由如下：
由（1）得，EF⊥GF且EF=GF．
∵将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FQ，
∴∠QFP=∠EFG=90°，QF=PF，
∴∠QFE=∠PFG，
∴在△QFE与△PFG中，

QF=PF ∠QFE=∠PFG EF=GF

，
∴△QFE≌△PFG（SAS），
∴QE=PG．
∴EQ+EF=GP+GF．
∵BG=

2

2

FG=

2

2

EF，
∴GP+BG=GP+

2

2

EF=BP，即EQ+

2

2

EF=BP．

点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及旋转的性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．