Question

在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过A点作AE⊥BD，垂足为点E，若ED=3OE，AE=

3

，则BD的长为

 

．

Answer 1

考点：矩形的性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：根据题意画出图形，当如图1所示时，矩形的对角线相等互相平分可得OB=OD，然后求出OE=BE，然后判断出△ABO是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出边长AB即OB的长，然后根据BD=2OB计算即可得解；当如图2所示时，根据ED=3OE可知OD=4OE，设OE=x，则ED=3x，故OA=OD=4x，在Rt△AOE中，根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论．

解答：解：如图1，在矩形ABCD中，OB=OD，
∵ED=3OE，
∴OE=BE，
∴AE垂直平分OB，
∴AB=AO，
又∵OA=OB，
∴△ABO是等边三角形，
∵AE=

3

，
∴OB=AB=

3

÷

3

2

=2，
∴BD=2OB=2×2=4．
如图2所示，
∵ED=3OE，
∴OD=4OE，
设OE=x，则ED=3x，OA=OD=4x，
在Rt△AOE中，
∵AE=

3

，AO=4x，OE=x，
∴x²+（

3

）²=（4x）²，解得x=

5

5

，
∴BD=8x=

8 5

5

．
故答案为：4或

8 5

5

．

点评：本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了矩形的对角线相等且互相平分的性质，熟记性质是解题的关键．