Question

1．已知方程x²+px+q=0有两个相同的实数根，判断方程x²-p（1+q）x+q³+2q²+q=0的根情况．

Answer 1

分析 由方程x²+px+q=0有2个相同的实数根，得到△1=p²-4q=0，而对于方程x²-p（1+q）x+q³+2q²+q=0的判别式△2=[p（1+q）]²-4（q³+2q²+q）=p²（1+q）²-4q（1+q）²=（p²-4q）（1+q）²，故△2=0，结论得证．

解答 解：∵方程x²+px+q=0有2个相同的实数根，
∴△1=p²-4q=0，
而对于方程x²-p（1+q）x+q³+2q²+q=0，
其判别式△2=[p（1+q）]²-4（q³+2q²+q）
=p²（1+q）²-4q（1+q）²
=（p²-4q）（1+q）²=0，
∴方程x²-p（1+q）x+q³+2q²+q=0有2个相同的实数根．

点评 本题主要考查了一元二次方程根的判别式：△=b²-4ac，当△＞0时方程有两个不等实根，△=0时方程有两个相等实根，△＜0时方程没有实根．