Question

如图，在平行四边形ABCD中，点E为CD边的中点，连接BE，若∠ABE=∠ACB，AB=

2

，则AC的长为

3

．

Answer 1

分析：由四边形ABCD是平行四边形，易得AOB∽△COE，又由点E为CD边的中点，即可证得OA=

2

3

AC，又由∠BAC=∠OAB，∠ABE=∠ACB，可得△AOB∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴△AOB∽△COE，
∴

AB

CE

=

AO

CO

，
∵点E为CD边的中点，
∴CE=

1

2

CD=

1

2

AB，
∴AO=2CO，
∴

AO

AC

=

2

3

，
∵∠BAC=∠OAB，∠ABE=∠ACB，
∴△AOB∽△ABC，
∴AB：AC=OA：AB，
∴AB²=AC•OA=

2

3

AC²，
∵AB=

2

，
∴AC=

3

．
故答案为：

3

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．