Question

如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AF为△ABC的角平分线，分别过点C、B作AF的垂线，垂足分别为E、D．以下结论：①CE=DE=

2

2

BD；②AF=2BD；③CE+EF=

1

2

AE；④

DF

AF

=

2 -1

2

．其中结论正确的序号是

 

．

Answer 1

分析：延长线段BD与AC的延长线交于点M，然后由两个角相等得出三角形ACE与三角形ABD相似，且相似比等于1比

2

，得出三角形ACF与三角形CBN全等，即可得出CE与DE相等且等于

2

2

BD，AF等于2BD，然后由三角形CEF与三角形BDF相似，且相似比也等于1比

2

，如果EF=1，则DF=

2

，设AE=x，则AD=

2

x，利用AE+EF+0D等于AD列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，然后表示出AF，求出AF与FD的比值即可．

解答：解：延长线段BD与AC的延长线交于点M
∵AD为∠CAB的平分线，AD⊥MB，
∴AM=AB，∠M=∠AFC=67.5°，
又∠ACF=∠BCM=90°，AC=BC，
∴△ACF≌△BCM，
∴AF=BM=2BD，故②正确；
又∵AD为∠CAB的平分线，
∴∠CAD=∠BAD，且∠AEC=∠ADB=90°，
∴△ACE∽△ABD，
∴

AC

AB

=

CE

BD

=

AE

AD

=

1

2

，
∴CE=DE=

2

2

BD，故①正确；
又∵△CEF∽△BDF，
∴

EF

BD

=

1

2

，设AE=x，则AD=

2

x，
∴x+1+

2

=

2

x，解得x=

2 +1

2 -1

∴

DF

AF

=

2

2 +1 2 -1 +1

=

2 -1

2

，故④正确．
故答案是：①②④．

点评：此题考查学生灵活运用相似三角形的性质与判断解决数学问题，是一道综合题．