Question

12．△ABC中，∠ACB=90°，AC=8．
（1）如图1，若AC=BC，∠MCN=45°，交BA及延长线分别于N、M，若AM=2$\sqrt{2}$，求MN的值；
（2）如图2，将△ABC绕C点旋转一个角度到△DEC，直线AD、EB交于P点，Q是BC中点，连PQ，在旋转过程中，当BC=6时，求：①∠BPA的度数；②PQ的最大值．

Answer 1

分析 （1）作AF⊥AB，使AF=BE，连接DF，根据SAS证得△CAF≌△CBE和△CDF≌△CDE，再由勾股定理和等量代换即可解答．
（2）①设∠BCE=∠ACD=α，可得∠CBE=∠CEB=∠CAD=∠CDA=90°-$\frac{1}{2}$α，根据四边形内角和可得∠BPA=90°；
②取AB的中点K，连接PK、QK，则KQ=$\frac{1}{2}$AC=4，PK=AB=5，继而可得PQ≤KP+KQ=9．

解答 解：（1）如图，

证明：过点A作AF⊥AB，使AF=BN，连接MF，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠FAC=45°，
∴△CAF≌△CBN（SAS），
∴CF=CN，
∠ACF=∠BCN，
∵∠BCN+∠ACN=90°，
∴∠ACF+∠ACN=90°，即∠FCN=90°，
∵∠MCN=45°，
∴∠MCF=45°，
∴∠MCF=∠MCN，
又∵CM=CM，
∴△CMF≌△CMN（SAS），
∴MF=MN，
∵AM²+AF²=MF²，
∴AM²+BN²=MN²．
在Rt△ABC中，AC=BC=8，∴AB=8$\sqrt{2}$，
∴BN=AB-AN=AB-（MN-AM）=8$\sqrt{2}$-MN+2$\sqrt{2}$=10$\sqrt{2}$-MN，∴（2$\sqrt{2}$）²+（10$\sqrt{2}$-MN）²=MN²，
∴MN=5.7$\sqrt{2}$．

（2）解：①∵△DEC是由△ABC绕C点旋转得到，
∴CE=CB，CD=CA，∠BCE=∠ACD，
设∠BCE=∠ACD=α∴∠CBE=∠CEB=∠CAD=∠CDA=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴在四边形BCDP中，∠BPA=360°-90°-α-2（90°-$\frac{1}{2}$α）=90°；

②∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，
∴AB=10，
如图1，取AB的中点K，连接PK、QK，
则KQ=$\frac{1}{2}$AC=4，PK=AB=5，
∴PQ≤KP+KQ=9，
∴PQ的最大值是9．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理及三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质及中位线定理，解（1）的关键是构造全等三角形△CAF≌△CBN，构建以PQ为边的三角形，根据三角形三边关系得出PQ的长度范围是解（2）的关键．