Question

在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边作如图所示的正方形CDEF，连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，设OD=t．
（1）tan∠AOB=______，tan∠FOB=______；
（2）用含t的代数式表示OB的长；
（3）当t为何值时，△BEF与△OFE相似？

Answer 1

解：（1）1，；

（2）过点A作AM⊥x轴于M，则OM=AM=2；
∵OD=t，
∴OE=2t，ME=2t-2，EF=t；
由于EF∥AM，则有△BEF∽△BMA，得：
，即，
解得：BE=，
故OB=OE+BE=2t+=．

（3）本题分两种情况：
①∠FOE=∠FBE，则有△BFE≌△OFE
∴OE=BE=2t
∴OB=4t=，
解得t=；
②∠OFE=∠FBE，由于△BFE∽△OFE，可得：
EF²=OE•BE，即t²=2t•BE，
∴BE=
∴OB=OE+BE=2t+t=t．
∴OB==t，
解得t=
综上所述，当t=或时，△BEF与△OFE相似．
分析：（1）根据A点坐标，易求得tan∠AOB=1，则∠AOB=45°，△COD是等腰直角三角形，即CD=OD=DE，因此tan∠FOB=．
（2）过A作AM⊥x轴于M，则AM=OM=2，可用t分别表示出OE、ME、EF的长，通过证△BEF∽△BMA，根据所得比例线段即可求出BE的表达式，进而可得到OB的表达式．
（3）要分两种情况进行讨论：
①∠FOE=∠FBE，此时△BFE≌△OFE，可得出OE=BE，那么OB=2OE=4OD，再根据（2）的结果即可得出t的值；②∠OFE=∠FBE，此时EF²=OE•BE，据此可表示出BE的长，而后仿照①的解法求出t的值．
点评：此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定和性质；要注意的是（3）题中，一定要根据相似三角形的不同对应边分类讨论，同时还要注意t的取值范围，以免造成漏解或多解．