Question

等边△ABC边长为5，D是边BC上一点，且BD=2，M、N分别是AB、AC上的两个动点，当M点在AB上运动时，保持∠MDN=60°，设BM=x，CN=y，
（1）求y与x之间的函数关系式并求出自变量x的取值范围．
（2）连接MN，当M点运动到什么位置时，△MDN是等边三角形；
（3）连接MN，当△MDN是直角三角形时，求此时x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据等边三角形的性质和已知条件可证△BMD∽△CDN，根据相似三角形的性质即可得出y与x之间的函数关系式；
（2）根据相似三角形的性质和等边三角形的判定即可得到M点运动的位置；
（3）分①当∠DMN=90°时，∠MND=30°；②当∠DNM=90°时，∠DMN=30°两种情况讨论即可得到当△MDN是直角三角形时x的值．
解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=5，∠B=∠C=60°，
∵∠BMD=180°-∠B-∠BDM，∠CDN=180°-∠MDN-∠BDM
∴∠BMD=∠CDN，
∴△BMD∽△CDN，
∴，
∵BD=2，
∴CD=5-2=3，
∴，
∴，
由题意知，x≤5，y≤5；当y≤5时，
∴自变量x的取值范围是：1.2≤x≤5；

（2）当BM=3时，△MDN是等边三角形，理由如下：
∵△BMD∽△CDN，
∴，
∵BM=CD=3，
∴MD=DN，
∵∠MDN=60°，
∴△MDN是等边三角形；

（3）∵△BMD∽△CDN，
∴，
①当∠DMN=90°时，∠MND=30°，
∴，
∴，
∴；
②当∠DNM=90°时，∠DMN=30°，
∴DM=2DN
∴，
∴x=6，
由（1）知1.2≤x≤5知不合题意舍去．
综合①②可知，当△MDN是直角三角形时，x的值为．
点评：本题考查的是相似形综合题，此题涉及到等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质，函数思想和分类思想，有一定的综合性，难度适中．