Question

等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别交边AB、AC于点E、F．
（1）如图1，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）如图2，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长．

Answer 1

分析：（1）设BP=x，则CP=6-x，由PE⊥AB，∠B=60°，可知∠BPE=30°，故可得出BE及PE的长，再由三角形的面积公式可求出△BPE的面积，同理可求出△CFP的面积，由S_{四边形AEPF}=S_△BPE-S_△CFP即可得出结论；
（2）先证明△BPE∽△CFP，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得BP的长，进而即可求得PE的长．

解答：解：（1）设BP=x，则CP=6-x．
∵PE⊥AB，∠B=60°，
∴∠BPE=30°，
∴BE=

x

2

，PE=

3

2

x，
∴S_△BEP=

1

2

BE•PE=

1

2

×

x

2

×

3

2

x=

3

8

x²，
同理，在Rt△CFP中，PF=

3

（6-x）
∴S_△CFP=

1

2

PC•PF=

1

2

（6-x）×

3

（6-x）=

3

2

（6-x）²，
∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴S_△ABC=

1

2

×6×3

3

=9

3

，
设四边形AEPF的面积为y．
∴y=9

3

-

3

8

x²-

3

2

（6-x）²=-

5 3

8

x²+6

3

x-9

3

；
∵当x=3时，四边形AEPF不存在，
∴自变量x的取值范围为3＜x＜6；

（2）∵在△BPE中，∠B=60°，
∴∠BEP+∠BPE=120°，
∵∠MPN=60°，
∴∠BPE+∠FPC=120°，
∴∠BEP=∠FPC，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CFP，
∴

BP

CF

=

BE

CP

，
设BP=x，则CP=6-x．
∴

x

2

=

4

6-x

，
解得：x=2或4．
当x=2时，在△BEP中，
∵∠B=60°，BE=4，BP=2，
∴PE=2

3

；
当x=4时，在三角形△BEP中，
∵∠B=60°，BE=4，BP=4，
∴△BEP是等边三角形，
∴PE=4．
∴PE的长为4或2

3

．

点评：本题考查的是相似形综合题，此题涉及到等边三角形的性质、解直角三角形及相似三角形的判定与性质，有一定的综合性，难度适中．