Question

6．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，AB=$\sqrt{46}$cm，BC=13cm，DC=$\sqrt{30}$cm．在BC上有动点P、Q，P从B到C，以2cm/s的速度运动，Q从C到B，以1cm/s的速度同时开始运动，当P到达终点时，Q也立刻停止，设运动的时间为t（s）．
（1）t的取值范围是0≤t≤$\frac{13}{2}$；
（2）如果PQ的长为y（cm），求y关于t的函数解析式；
（3）求当t为多少时，以A、D、P、Q为顶点的凸四边形是平行四边形；
（4）以A、D、P、Q为顶点的凸四边形是否为菱形？如果是，求出相应的t，如果不是，说出理由．

Answer 1

分析 （1）由距离除以速度求出最大的时间，即可得出结论；
（2）先求出点P，Q相遇的时间，再分相遇前和相遇后两种情况即可得出结论；
（3）分两种情况，利用平行四边形的性质即可得出结论；
（4）先求出AE和BE，再分两种情况计算判断即可得出结论．

解答 解：（1）∵BC=13，点P的速度时2cm/s，
∴t最大=13÷2=$\frac{13}{2}$，
∴0≤t≤$\frac{13}{2}$，
故答案为0≤t≤$\frac{13}{2}$；

（2）当点P和Q相遇时，BP+CQ=13，
由运动知，BP=2t，CQ=t，
∴2t+t=13，
∴t=$\frac{13}{3}$，
当0≤t≤$\frac{13}{3}$时，BP+PQ+CQ=13，
∴2t+y+t=13，
∴y=-3t+13，
当$\frac{13}{3}$＜t≤$\frac{13}{2}$时，PQ=BP+CQ-BC，
∴y=2t+t-13=3t-13；

（3）当0≤t≤$\frac{13}{3}$时，如图1，
∵四边形ADQP是平行四边形，
∴PQ=AD，
∴-3t+13=5，
∴t=$\frac{8}{3}$，
当$\frac{13}{3}$＜t≤$\frac{13}{2}$时，如图2，
∵四边形ADPQ是平行四边形，
∴PQ=AD，
∴3t-13=5，
∴t=6；
即：t=$\frac{8}{3}$或6时，以A、D、P、Q为顶点的凸四边形是平行四边形；
（4）如图3，
过点A作AE⊥BC，过点D作DF⊥BC于F，
∴四边形AEFD是矩形，
∴EF=AD=5，AE=DF，
∴BE+CF=8，
在Rt△ABE中，AE²=AB²-BE²，
在Rt△CDF中，AE²=CD²-DF²，
∴46-BE²=30-（8-BE）²，
∴BE=5，
∴CF=3，
∴AE=DF=$\sqrt{21}$
当0≤t≤$\frac{13}{3}$时，如图5，
假设以A、D、P、Q为顶点的凸四边形能为菱形，
∴t=$\frac{8}{3}$，且AP=AD=5，
∴BP=2t=$\frac{16}{3}$，
∴PE=BP-BE=$\frac{1}{3}$，
在Rt△APE中，AP=$\sqrt{A{E}^{2}-P{E}^{2}}$=$\sqrt{21-\frac{1}{9}}$≠5，
此种情况四边形ADQP不能是菱形；
当$\frac{13}{3}$＜t≤$\frac{13}{2}$时，如图4，
假设以A、D、P、Q为顶点的凸四边形能为菱形，
∴t=6，且AP=AQ=5，
∴BQ=BC-CQ=13-6=7，
∴EQ=BQ-BE=2，
在Rt△AQE中，AQ=$\sqrt{A{E}^{2}+E{Q}^{2}}$=$\sqrt{21+4}$=5，
∴四边形ADPQ是菱形；
即：t=6时，以A、D、P、Q为顶点的凸四边形是菱形．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了梯形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，解（2）的关键是求出点P，Q相遇时的时间，解（3）的关键是分类讨论的思想解决问题，解（4）的关键是构造直角三角形．