Question

5．如图，CE⊥AB，BF⊥AC，BF交CE于点D，且BD=CD．
（1）求证：点D在∠BAC的平分线上；
（2）若将条件“BD=CD”与结论“点D在∠BAC的平分线上”互换，成立吗？试说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据AAS推出△DEB≌△DFC，根据全等三角形的性质求出DE=DF，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据角平分线性质求出DE=DF，根据ASA推出△DEB≌△DFC，根据全等三角形的性质得出即可．

解答 （1）证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在△DEB和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠CDF}\\{∠DEB=∠DFC}\\{BD=DC}\end{array}\right.$，
∴△DEB≌△DFC（AAS），
∴DE=DF，
∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上；

（2）解：成立，
理由是：∵点D在∠BAC的平分线上，CE⊥AB，BF⊥AC，
∴DE=DF，
在△DEB和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠CDF}\\{DE=DF}\\{∠DEB=∠DFC}\end{array}\right.$，
∴△DEB≌△DFC（ASA），
∴BD=CD．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，解此题的关键是推出△DEB≌△DFC，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等，反之亦然．