Question

13．如图，已知⊙O的半径为2，C、D是直径AB同侧圆周上的两点，弧AC的度数是100°，D为弧BC的中点，动点P在直径AB上，则PC+PD的最小值是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作点D关于AB的对称点D′，连接CD′与AB的交点即为所求的点P，CD′的长度为PC+PD的最小长度，求出弧BC的度数，再求出弧BD的度数，从而得到弧CD′的度数，连接OD′，过点O作OE⊥CD′，然后根据垂径定理求解即可．

解答 解：如图，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′，
由轴对称确定最短路线问题，CD′与AB的交点即为所求的点P，CD′的长度为PC+PD的最小长度，
∵弧AC的度数为100°，
∴弧BC的度数为180°-100°=80°，
∵弧BC=2弧BD，
∴弧BD的度数=$\frac{1}{2}$×80°=40°，
∴弧CD′的度数=80°+40°=120°，
连接OD′，过点O作OE⊥CD′，
则∠COD′=120°，OE垂直平分CD′，
∴CD′=2CE=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=2$\sqrt{3}$．
∴PC+PD的最小值是2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握最短路线的确定方法，找出点P的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．