题目内容
18．
在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E，F分别在线段AB，CD上），记它们的面积分别为SABCD和SBFDE，现给出下列命题：①若$\frac{{S}_{ABCD}}{{S}_{BFDE}}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，则tan∠EDF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；②若DE2=BD•EF，则DF=2AD，则（ ）| A． | ①是假命题，②是假命题 | B． | ①是真命题，②是假命题 | ||
| C． | ①是假命题，②是真命题 | D． | ①是真命题，②是真命题 |
分析 ①由已知先求出cos∠BFC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再求出tan∠EDF，即可判断；
②由S△DEF=$\frac{1}{2}$DF•AD=$\frac{1}{4}$BD•EF，及DE2=BD•EF，可得DF•AD=$\frac{1}{2}$DF2，即DF=2AD．
解答 解：①设CF=x，DF=y，BC=h．
∵四边形BFDE是菱形，
∴BF=DF=y，DE∥BF．
∵若$\frac{{S}_{ABCD}}{{S}_{BFDE}}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{（x+y）h}{yh}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即cos∠BFC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠BFC=30°，
∵DE∥BF，
∴∠EDF=∠BFC=30°，
∴tan∠EDF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以①是真命题．
②∵四边形BFDE是菱形，
∴DF=DE．
∵S△DEF=$\frac{1}{2}$DF•AD=$\frac{1}{4}$BD•EF，
又∵DE2=BD•EF（已知），
∴S△DEF=$\frac{1}{4}$DE2=$\frac{1}{4}$DF2，
∴DF•AD=$\frac{1}{2}$DF2，
∴DF=2AD，
所以②是真命题．
故选D．
点评 此题考查了矩形的性质、菱形的性质、锐角三角函数、三角形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用面积法确定两条线段之间的关系，属于中考常考题型．
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