Question

（1）如图（1），点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE．求证：△BCP≌△DCE；

（2）如图（2），直线EP交AD于F，连接BF，FC．FC与BP交与点G．
①若点P是CD中点时，判断CF与BP的关系，并说明理由．
②若CD=4，CP=1，求△BPF的面积和△DPE的面积．
③若CD=n•PC（n是大于1的实数）时，记△BPF的面积为S₁，△DPE的面积为S₂．则

S1

S2

=

 

（不需要证明）

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）利用SAS，证明△BCP≌△DCE；
（2）在（1）的基础上，再证明△BCP≌△CDF，进而得到CF=BP，∠FCD+∠BPC=90°，从而证明BP⊥CF；
②△BPF的面积=△BFE的面积-△BPE的面积，△DPE的面积=△DCE的面积-△PCE的面积，依此计算即可求解；
③设CP=CE=1，则BC=CD=n，DP=CD-CP=n-1，分别求出S₁与S₂的值，得S₁=

1

2

（n²-1），S₂=

1

2

（n-1），所以

S1

S2

=（n+1）．

解答：证明：（1）在△BCP与△DCE中，

BC=CD ∠BCP=∠DCE=90° CP=CE

，
∴△BCP≌△DCE（SAS）．

（2）①答：CF=BP，CF⊥BP．
∵CP=CE，∠PCE=90°，
∴∠CPE=45°，
∴∠FPD=∠CPE=45°，
∴∠PFD=45°，
∴FD=DP．
∵CD=2PC，
∴DP=CP，
∴FD=CP．
在△BCP与△CDF中，

BC=CD ∠BCP=∠CDF=90° CP=FD

，
∴△BCP≌△CDF（SAS）．
∴BP=CF，∠FCD=∠CBP，
∵∠CBP+∠BPC=90°，
∴∠FCD+∠BPC=90°，
∴∠PGC=90°，即BP⊥CF．
故CF与BP的关系：CF=BP，CF⊥BP．

②△BPF的面积=△BFE的面积-△BPE的面积
=

1

2

×（4+1）×4-

1

2

×1×1
=10-2.5
=7.5，
△DPE的面积=△DCE的面积-△PCE的面积
=

1

2

×4×1-

1

2

×（4+1）×1
=2-0.5
=1.5
故△BPF的面积为7.5，△DPE的面积为1.5．

③设CP=CE=1，则BC=CD=n，DP=CD-CP=n-1．
易知△FDP为等腰直角三角形，
∴FD=DP=n-1．
S₁=S_梯形BCDF-S_△BCP-S_△FDP
=

1

2

（BC+FD）•CD-

1

2

BC•CP-

1

2

FD•DP
=

1

2

（n+n-1）•n-

1

2

n×1-

1

2

（n-1）²
=

1

2

（n²-1）；
S₂=

1

2

DP•CE=

1

2

（n-1）×1=

1

2

（n-1）．
∵n²-1=（n+1）（n-1），
∴

S1

S2

=n+1．
故答案为：n+1．

点评：本题是几何综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、图形的面积等知识点，试题的综合性较强，难度中等．