已知Rt△ABC中.AC=BC=2．一直角的顶点P在AB上滑动.直角的两边分别交线段AC.BC于E．F两点(1)如图1.当$\frac{AP}{PB}$=$\frac{1}{3}$且PE⊥AC时.求证:$\frac{PE}{PF}$=$\frac{1}{3}$,(2)如图2.当$\frac{AP}{PB}$=1时(1)的结论是否仍然成立?为什么?的条件下.将直角∠EPF绕点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．已知Rt△ABC中，AC=BC=2．一直角的顶点P在AB上滑动，直角的两边分别交线段AC，BC于E．F两点
（1）如图1，当$\frac{AP}{PB}$=$\frac{1}{3}$且PE⊥AC时，求证：$\frac{PE}{PF}$=$\frac{1}{3}$；
（2）如图2，当$\frac{AP}{PB}$=1时（1）的结论是否仍然成立？为什么？
（3）在（2）的条件下，将直角∠EPF绕点P旋转，设∠BPF=α（0°＜α＜90°）．连结EF，当△CEF的周长等于2+$\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$时，请直接写出α的度数．

分析（1）如图1，易证△AEP∽△PFB，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）连接CP，如图2，易证△APE≌△CPF，从而得到PE=PF，故（1）的结论不成立；
（3）在（2）的条件下可得AE=CF，由此可得EC+CF=2，EF=$\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$，设CF=x，在Rt△CEF中运用勾股定理可求出CF的值．由于CF的值有两个，需分以下两种情况讨论：①若CF=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，如图3，过点P作PH⊥BC于H，先求出PH、FH，然后在Rt△PHF中运用三角函数可求出∠FPH的度数，由此可求出α的值；②若CF=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$，如图4，过点P作PG⊥AC于G，同理可求出∠APE度数，由此可求出α的值．

解答解：（1）如图1，

∵PE⊥AC，
∴∠AEP=∠PEC=90°．
又∵∠EPF=∠ACB=90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴∠PFC=90°，
∴∠PFB=90°，
∴∠AEP=∠PFB．
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠FPB=∠B=45°，△AEP∽△PFB，
∴PF=BF，$\frac{PE}{BF}$=$\frac{AP}{PB}$，
∴$\frac{PE}{PF}$=$\frac{AP}{PB}$=$\frac{1}{3}$；

（2）（1）的结论不成立，理由如下：
连接PC，如图2．

∵$\frac{AP}{PB}$=1，
∴点P是AB的中点．
又∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴CP=AP=$\frac{1}{2}$AB．∠ACP=∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，CP⊥AB，
∴∠APE+∠CPE=90°．
∵∠CPF+∠CPE=90°，
∴∠APE=∠CPF．
在△APE和△CPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠PCF=45°}\\{PA=PC}\\{∠APE=∠CPF}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△CPF，
∴AE=CF，PE=PF．
故（1）中的结论$\frac{PE}{PF}$=$\frac{1}{3}$不成立；

（3）当△CEF的周长等于2+$\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$时，α的度数为75°或15°．
提示：在（2）的条件下，可得AE=CF（已证），
∴EC+CF=EC+AE=AC=2．
∵EC+CF+EF=2+$\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$，
∴EF=$\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$．
设CF=x，则有CE=2-x，
在Rt△CEF中，根据勾股定理可得x²+（2-x）²=（$\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$）²，
整理得：3x²-6x+2=0，
解得：x₁=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，x₂=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$．
①若CF=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，如图3，

过点P作PH⊥BC于H，
易得PH=HB=CH=1，FH=1-$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△PHF中，tan∠FPH=$\frac{FH}{PH}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠FPH=30°，
∴α=∠FPB=30+45°=75°；
②若CF=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$，如图4，

过点P作PG⊥AC于G，
同理可得：∠APE=75°，
∴α=∠FPB=180°-∠APE-∠EPF=15°．