Question

已知关于x的方程

x2+kx+3

x-1

=3x+k只有一个实根，求实数k的取值范围，并求出这个实根．

Answer 1

分析：将原方程转化为关于x的一元二次方程的形式，然后根据一元二次方程根的判别式△=b²-4ac=0列出关于k的方程，解方程求出k值，并求出原方程；最后由公式法求得原方程的根即可．

解答：解：原方程可化为2x²-3x-（k+3）=0，①
（1）∵关于x的方程

x2+kx+3

x-1

=3x+k只有一个实根，
∴△=9+8（k+3）=0，即33+8k=0，
解得k=-

33

8

，
∴x1=x2=

3

4

满足条件；（3分）
（2）若x=1是方程①的根，得2×1²-3×1-（k+3）=0，k=-4．
此时方程①的另一个根为

1

2

，故原方程也只有一根x=

1

2

（6分）

点评：本题主要考查了一元二次方程的根的判别式．解答此题时需注意，此题是分式方程，不要漏掉分母是0的情况下的k的取值．