Question

如图，P为正△ABC内的一点，PA=2，PB=4，PC=2

3

，求正三角形ABC的面积．

Answer 1

考点：旋转的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理的逆定理

专题：计算题

分析：先根据等边三角形的性质得CB=CA，∠ACB=90°，则利用旋转的定义，可把△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CDB，如图，作CH⊥BD于H，再根据旋转的性质得CD=CP=2

3

，∠PCD=60°，BD=AP=2，于是可判断△CPD为等边三角形，得到∠PDC=60°，PD=CP=2

3

，在△PDB中，利用勾股定理的逆定理得到∠PDB=90°，根据平角定义可计算出∠CDH=30°，在Rt△CDH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得CH=

1

2

CD=

3

，DH=

3

CH=3，则BH=BD+DH=7，接着在Rt△BCH中，利用勾股定理计算出BC²=52，然后根据等边三角形的面积公式进行计算．

解答：解：∵△ABC为等边三角形，
∴CB=CA，∠ACB=60°，
∴把△CPA绕点C逆时针旋转60°可得到△CDB，如图，作CH⊥BD于H，
∴CD=CP=2

3

，∠PCD=60°，BD=AP=2，
∴△CPD为等边三角形，
∴∠PDC=60°，PD=CP=2

3

，
在△PDB中，PB=4，BD=2，PD=2

3

，
∵2²+（2

3

）²=4²，
∴BD²+PD²=PB²，
∴△PDB为直角三角形，
∴∠PDB=90°，
∴∠CDH=180°-90°-60°=30°，
在Rt△CDH中，CH=

1

2

CD=

3

，DH=

3

CH=3，
∴BH=BD+DH=2+3=5，
在Rt△BCH中，BC²=BH²+CH²=5²+（

3

）²=28，
∴正三角形ABC的面积=

3

4

BC²=

3

4

×28=7

3

．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．