Question

18．如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B、D在BD两侧作AB⊥BD，ED⊥BD，
连结AC，EC．
（1）如图1，已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x．用含x的代数式表示AC+CE的长．（直接列式，不需化简）
（2））如图1，请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？（直接写出结论，不需证明）
（3）根据以上的结论和规律，请在虚线框中构造图形，利用图形求出代数式$\sqrt{{x}^{2}+49}$+$\sqrt{（5-x）^{2}+25}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理直接列式；
（2）根据三角形的三边关系可得：当点C在直线AE上时，AC+CE的值最小，
（3）构建类似于图1的图3，作辅助线，构建直角△AEF，利用勾股定理求出AE的长，即代数式的最小值．

解答 解：（1）∵CD=x，BD=12，
∴BC=12-x，
由勾股定理得：AC+CE=$\sqrt{{3}^{2}+（12-x）^{2}}+\sqrt{{2}^{2}+{x}^{2}}$；
（2）当点C在直线AE上时，如图2，AC+CE的值最小，
理由是：C₁是线段BD上任意一点（C₁不与C重合），
在△AC₁E中，∵AC₁+EC₁＞AE，
∴AC₁+EC₁＞AC+CE，
即AC+CE的值最小，
（3）如图3，线段BD，分别过点B、D在BD两侧作AB⊥BD，ED⊥BD，
已知AB=7，BD=DE=5，连结AE交BD于C，
由（2）得：此时AC+CE的值最小，
设BC=x，则CD=5-x，
∴AC+CE=$\sqrt{{x}^{2}+49}$+$\sqrt{（5-x）^{2}+25}$，
即代数式$\sqrt{{x}^{2}+49}$+$\sqrt{（5-x）^{2}+25}$的最小值就是线段AE的长，
过E作EF⊥AB，交AB的延长线于F，
∴∠F=90°，
∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠FBD=∠BDE=90°，
∴四边形EFBD是矩形，
∴EF=BD=5，BF=DE=5，
∴AF=5+7=12，
在Rt△AEF中，则勾股定理得：AE=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
∴代数式$\sqrt{{x}^{2}+49}$+$\sqrt{（5-x）^{2}+25}$的最小值是13．

点评 本题考查了最短路径问题，正确确定C点的位置是解题的关键，本题还考查了两点之间线段最短或三角形的三边关系及勾股定理．