Question

20．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O，且与x轴、y轴分别交于A（-6，0）、B（0，-8）．
（1）有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数表达式；
（2）设（1）中的抛物线交x轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S_△PDE=$\frac{1}{15}$S_△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）中的抛物线对称轴上是否存在点Q，使得以Q为圆心的⊙Q与直线AB和⊙M都相切？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据抛物线的顶点在圆上且与y轴平行即可确定抛物线的顶点坐标，再根据待定系数法求函数解析式；
（2）利用三角形ABC的面积为15，设在抛物线上存在点P（x，y），使得S_△PDE=$\frac{1}{15}$S_△ABC=$\frac{1}{15}$×15=1，再利用S_△PDE=$\frac{1}{2}$×DE×|y|=$\frac{1}{2}$×2×|y|=1，求出y=±1，分y=1和y=-1代入抛物线解析式即可求解．
（3）利用点Q到⊙M的圆心M的距离等于两圆的半径之和或差，点Q到直线AB的距离等于⊙Q的半径．

解答 解：（1）在Rt△AOB中，由勾股定理，得  AB=$\sqrt{{OA}^{2}{+OB}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}{+8}^{2}}$=10；
∵⊙M经过O，A，B三点，且∠AOB=90°，
∴AB为⊙M的直径，
∴半径MA=5，
设抛物线的对称轴交x轴于点N，
∵MN⊥x，
∴由垂径定理，得  AN=ON=$\frac{1}{2}$OA=3
在 Rt△AMN中，MN=$\sqrt{{MA}^{2}{-AN}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}{-3}^{2}}$=4
∴CN=MC-MN=5-4=1，
∴顶点C的坐标为（-3，1），
设抛物线的表达式为  y=a（x+3）²+1，
∵它经过B（0，-8），
∴把x=0，y=-8代入y=a（x+3）²+1
得-8=a（0+3）²+1
解得  a=-1
∴抛物线的表达式为 y=-（x+3）²+1=-x²-6x-8

（2）如上图，连接AC，BC，
S_△ABC=S_△AMC+S_△BMC=$\frac{1}{2}$MC×AN+$\frac{1}{2}$MC×ON=$\frac{1}{2}$×5×3+$\frac{1}{2}$×5×3=15
在抛物线y=-x²-6x-8 中，设 y=0，
则-x²-6x-8=0
解得  x₁=-2，x₂=-4，
∴D，E的坐标分别是（-4，0），（-2，0），
∴DE=2；
设在抛物线上存在点P（x，y），使得S_△PDE=$\frac{1}{15}$S_△ABC=$\frac{1}{15}$×15=1，
则  S_△PDE=$\frac{1}{2}$×DE×|y|=$\frac{1}{2}$×2×|y|=1，
∴y=±1，
当y=1时，-x²-6x-8=1
  解得 x₁=x₂=-3 
∴P₁（-3，1），
当y=-1时，-x²-6x-8=-1
 解得  x₁=-3+$\sqrt{2}$，x₂=-3-$\sqrt{2}$，
∴P₂（-3+$\sqrt{2}$，-1），P₃（3-$\sqrt{2}$，-1）
综上所述，这样的点存在，且有三个P₁（-3，1），P₂（-3+$\sqrt{2}$，-1），P₃（3-$\sqrt{2}$，-1）
（3）设Q（-3，m），⊙Q的半径为R，
∴$\frac{R}{|m+4|}$=$\frac{3}{5}$，
∴R=$\frac{3}{5}$|m+4|，
∵⊙M与⊙Q相切，
①当两圆外切时，有5+R=|m+4|，
∴5+$\frac{3}{5}$|m+4|=|m+4|，
∴m=$\frac{17}{2}$或m=-$\frac{33}{2}$，
∴Q（-3，$\frac{17}{2}$）或Q（-3，-$\frac{33}{2}$），
②当两圆内切时，有5-R=|m+4|，
∴5-$\frac{3}{5}$|m+4|=|m+4|，
∴m=$\frac{57}{8}$或m=$\frac{7}{8}$，
Q（-3，$\frac{57}{8}$）或Q（-3，$\frac{7}{8}$）．
即：Q（-3，$\frac{17}{2}$）或Q（-3，-$\frac{33}{2}$）或Q（-3，$\frac{57}{8}$）或Q（-3，$\frac{7}{8}$）．

点评 本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求直线和抛物线的解析式，正确求得抛物线的解析式是解决本题的关键．