Question

如图，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.

（1）当正方形GFED绕D旋转到如图1的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

（2）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.

①求证：AG⊥CH;

②当AD=4，DG=时，求CH的长。

 

Answer 1

解：（1）成立．

　　　　　　四边形、四边形是正方形，

　　　　　　∴      

∠∠.

            ∴∠90°-∠∠.                                                                                   

　　　　　　∴△△.

            ∴.                      

      （2）①类似（1）可得△△，

　　　　　   ∴∠1＝∠2                        

　            又∵∠＝∠.     

　　　　　   ∴∠∠＝.

　　　　　   即                     

　　　　 　  ② 解法一: 过作于,

　　　　　    由题意有,

　　　　　　∴，则∠1＝.     

　　　　　　而∠1＝∠2，∴∠2＝＝∠1＝.

　　　　　　∴　，即.               

　　　　　　在Rt中，＝＝,

　              而∽,∴,　 即,　　　　

∴.　                                                 

再连接，显然有,

　　　　　    ∴.

            所求的长为.                                                

解法二：研究四边形ACDG的面积

过作于,

　　　　      由题意有,

∴,.       

而以CD为底边的三角形CDG的高=PD=1,

,

∴4×1+4×4=×CH+4 ×1.

∴=.