Question

已知：如图，在△ACB中，∠A=30°，∠B=45°，AC=8，点P在线段AB上，联结CP，且cot∠APC=

3

4

，
（1）求CP的长；
（2）求∠BCP的正弦值．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：

分析：（1）过点C作CH⊥AB于点H，在Rt△ACH中求出CH，再由cot∠APC=

3

4

，可求出HP，在Rt△CHP中，利用勾股定理可求出CP；
（2）先求出BH，继而得出PB，在Rt△PGB中求出PG，从而可求出∠BCP的正弦值．

解答：解：（1）过点C作CH⊥AB于点H，
∵∠A=30°，AC=8，
∴CH=4，
∵在Rt△CHP中，cot∠APC=

PH

CH

=

3

4

，
∴PH=3，
∴CP=

CH2+HP2

=5．
（2）∵在Rt△CHB中，∠B=45°，CH=4，
∴BH=4，
∴PB=BH-HP=1，
过点P作PG⊥BC于点G，
∵在Rt△PGB中，∠B=45°，PB=1，
∴PG=

2

2

，
∴在Rt△PGC中，sin∠BCP=

PG

CP

=

2

10

．

点评：本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，注意熟练掌握锐角三角函数的定义．