Question

18．如图，△ABC中，AB=AC，点D在边AB上，点E在线段CD的垂直平分线上，且AE∥BC，ED交AC于点O，判断△AOE与△DOC是否相似，说明理由．

Answer 1

分析 结论：△AOE∽△DOC，作EM⊥BA于M，EN⊥AC于N，先证明△EMD≌△ENC，推出∠EDM=∠ECN，再证明△AOD∽△EOC，推出$\frac{AO}{EO}$=$\frac{DO}{CO}$，推出$\frac{AO}{OD}$=$\frac{EO}{OC}$，由此即可证明．

解答 解：结论：△AOE∽△DOC．理由如下：
如图，作EM⊥BA于M，EN⊥AC于N，

∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AE∥BC，
∴∠MAE=∠B，∠EAC=∠ACB，
∴∠MAE=∠EAN，
∴EM=EN，
在Rt△EMD和Rt△ENC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EM=EN}\\{ED=EC}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△ENC，
∴∠EDM=∠ECN，∵∠AOD=∠EOC，
∴△AOD∽△EOC，
∴$\frac{AO}{EO}$=$\frac{DO}{CO}$，
∴$\frac{AO}{OD}$=$\frac{EO}{OC}$，∵∠AOE=∠DOC，
∴△AOE∽△DOC．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．