Question

11．如图，一次函数y₁=kx+b的图象与反比例函数y₂=$\frac{a}{x}$的图象相交于A，B两点，直线AB与x轴相交于点C，点B的坐标为（-6，m），线段OA=5，E为x轴正半轴上一点，且cos∠AOE=$\frac{3}{5}$．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求证：S_△AOC=2S_△BOC；
（3）直接写出当y₁＞y₂时，x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过解直角三角形求出点A的坐标，进而得出反比例函数解析式；
（2）先根据反比例函数解析式求得点B的坐标，再根据△AOC和△BOC的面积计算公式，即可得出结论；
（3）结合两函数图象，找出反比例函数图象在一次函数图象下方时x的取值范围即可．

解答 解：过点A作AD⊥x轴于点D，
∵cos∠AOE=$\frac{OD}{5}$=$\frac{3}{5}$，
∴OD=3，
∴AD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴A（3，4），
将点A的坐标代入反比例函数y₂=$\frac{a}{x}$得，a=12，
∴反比例函数解析式为${y}_{2}=\frac{12}{x}$；

（2）将点B（-6，m）代入反比例函数${y}_{2}=\frac{12}{x}$得，m=-2，
∴B（-6，-2），而A（3，4），
∴△AOC的面积=$\frac{1}{2}$×OC×4=2OC，
△BOC的面积=$\frac{1}{2}$×OC×2=OC，
∴S_△AOC=2S_△BOC；

（3）当y₁＞y₂时，x的取值范围为-6＜x＜0或x＞3．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出点A的坐标，并利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用函数图象解不等式．在计算三角形面积时，若三角形的一边与坐标轴平行或垂直，则一般以该边为底边．