Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣2x﹣3经过点A（﹣2，a），与x轴相交于B、C两点（B点在C点左侧）．

（1）求a的值及B、C两点坐标；

（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BD，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点D的坐标；

（3）设P（m，-3)是该抛物线上一点，点Q为抛物线的顶点，在x轴、y轴分别找点M、N，使四边形MNQP的周长最小，请求出点M、N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）5；（-1,0），（3,0） （2）（1，）；（1，） （3）（，0）；（0，）

【解析】

（1）把A（-2，a）代入y＝x2﹣2x﹣3可得a的值，分别 令y=0求出抛物线与x轴的交点坐标，从而可得B、C点坐标；

（2）设对称轴于BC的交点为E，先求出点C，点E坐标，可求BC=4，BH=CH=2，由折叠的性质可得BC'的长，由勾股定理可求C'H，DH的长，即可求解；

（4）作Q点关于y轴的对称点Q′（-1，-4），作点P（2，-3）关于x轴的对称点P′（2，3），连接Q′P′分别交x、y轴于点M、N，此时，四边形QPMN的周长最小，即可求解．

解：（1）把A（-2，a)代入y＝x2﹣2x﹣3，得a=5；

当y=0时，x2﹣2x﹣3=0 解得x1=3, x2=-1

∵B点在C点左侧

∴B(-1,0)，C(3,0)

(2)如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，

由翻折得C′B＝CB＝4，

在Rt△BHC′中，由勾股定理，得，

∴点C′的坐标为（1，2），tan，

∴∠C′BH＝60°，

由翻折得∠DBH＝∠C′BH＝30°，

在Rt△BHD中，DH＝BHtan∠DBH＝2tan30°＝，

∴点D的坐标为（1，）．

（3）如图2，

∵Q为抛物线的顶点，

∴Q（1，﹣4），

∴Q关于y轴的对称点Q'（﹣1，﹣4），

∵P（m,-3）在抛物线上，

∴P（2，﹣3），

∴点P关于x轴的对称点P'（2，3），

连接Q′、P′分别交x、y轴于点M、N，此时，四边形OPMN的周长最小，，

设直线Q′P′的解析式为y=kx+b，则有

，解得，

∴直线P'Q'的解析式为y＝x﹣，

当x=0时，y=﹣；当y=0时，x=;

∴M（，0），N（0，﹣）．