Question

6．如图，已知抛物线y=-$\frac{3}{4}$x²+bx+c与x轴相交于点A，B（4，0），与y轴相交于点C，直线y=-x+3经过点C，与x轴相交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第一象限抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点E，PE与线段CD相交于点G，过点G作y轴的垂线，垂足为点F，连接EF，过点G作EF的垂线，与y轴相交于点M，连接ME，MD，设△MDE的面积为S，点P的横坐标为t，求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，过点B作直线GM的垂线，垂足为点K，若BK=OD，求：t值及点P到抛物线对称轴的距离．

Answer 1

分析 （1）求出点C坐标，利用待定系数法转化为方程组解决问题．
（2）分两种情形①当0＜t＜$\frac{3}{2}$时，P（t，-$\frac{3}{4}$t+$\frac{9}{4}$t+3），②当$\frac{3}{2}$＜t＜3时，分别求出OM的长即可解决问题．
（3）如图2中，过点C作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两直线交于点Q，延长MK与CQ交于点N，延长KM与x轴交于点Z，Rt△KBN≌Rt△QBN，推出∠KNB=∠QNB，由NQ∥OB，推出∠QNB=∠NBO=∠KNB，推出ZN=ZB，设EG交CQ于H，由△HNG≌△FGE，推出CH=OE=t=GH，HN=GE=3-t，推出CN=3-t+3=3，推出NQ=BD=1=NK，设ZK=m，则ZB=ZN=m+1，在Rt△KZB中，（m+1）²=m²+3²，推出m=4，推出ZB=5，于tan∠GZB=$\frac{3}{4}$，tan∠GEF=$\frac{3}{4}$，可得$\frac{t}{3-t}$=$\frac{3}{4}$，求出t即可解决问题．

解答 解：（1）对于直线y=-x+3，令x=0得y=3，
∴C（0，3），把B（4，0），C（0，3）的坐标代入y=-$\frac{3}{4}$x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-12+4b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{9}{4}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3．

（2）如图1中，当0＜t＜$\frac{3}{2}$时，P（t，-$\frac{3}{4}$t+$\frac{9}{4}$t+3），

∵FG⊥OC，GE⊥OD，CO⊥OD，
∴四边形FOGE是矩形，
∴OE=FG=t，GE=GD=3-t，
∵MG⊥FE，FG⊥GE，
∴∠GEF+∠GFE=90°，∠GFE+∠FGM=90°，
∴∠GEF=∠FGM，
在Rt△FGE中，tan∠FEG=$\frac{FG}{GE}$=$\frac{t}{3-t}$，
∴在Rt△FGM中，tan∠FGM=$\frac{FM}{GF}$=$\frac{t}{3-t}$，
∴FM=$\frac{{t}^{2}}{3-t}$，
∴OM=FO-FM=（3-t）-$\frac{{t}^{2}}{3-t}$=$\frac{9-6t}{3-t}$，
∴S=$\frac{1}{2}$•DE•OM=$\frac{1}{2}$×（3-t）×$\frac{9-6t}{3-t}$=$\frac{9-6t}{2}$，
当$\frac{3}{2}$＜t＜3时，S=$\frac{1}{2}$•DE•OM=$\frac{1}{2}$•DE•（FM-OF）=$\frac{-9+6t}{2}$．
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9-6t}{2}}&{（0＜t＜\frac{3}{2}）}\\{\frac{-9+6t}{2}}&{（\frac{3}{2}＜t＜3）}\end{array}\right.$．

（3）如图2中，过点C作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两直线交于点Q，延长MK与CQ交于点N，延长KM与x轴交于点Z，

∵CQ∥BO，BQ∥CO，
∴四边形COBQ是平行四边形，
∵∠COB=90°，
∴四边形COBQ是矩形，
∴∠CQB=90°=∠BKN，CO=BQ=3，
对于直线y=-x+3，令y=0得x=3，
∴D（0，3），
∴OD=OC=BQ=3，
∵BK=OD，
∴BK=BQ，∵BN=BN，
∴Rt△KBN≌Rt△QBN，
∴∠KNB=∠QNB，
∵NQ∥OB，
∴∠QNB=∠NBO=∠KNB，
∴ZN=ZB，设EG交CQ于H，
∵OC=OB，
∴∠OCD=∠ODC，
∵CQ∥OB，
∴∠QHG=∠HEO=90°，∠HCD=∠CDO，
∴∠OCD=∠HCD，
∵GF⊥OC，GH⊥CH，
∴GH=GF，
∵GM⊥EF，GH⊥HN，
∴∠GEM+∠MGE=90°，∠HGN+∠HNG=90°，
∵∠HGN=∠MGE，
∴∠GEM=∠HNG，
∵∠GFO=∠FOE=∠OEG=90°，
∴∠GEF=90°=∠GHN，
∴△HNG≌△FGE，
∴CH=OE=t=GH，HN=GE=3-t，
∴CN=3-t+3=3，
∴NQ=BD=1=NK，设ZK=m，则ZB=ZN=m+1，
在Rt△KZB中，（m+1）²=m²+3²，
∴m=4，
∴ZB=5，
∴tan∠GZB=$\frac{3}{4}$，tan∠GEF=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{t}{3-t}$=$\frac{3}{4}$，
∴t=$\frac{9}{7}$，
∵抛物线的对称轴x=$\frac{3}{2}$，
∴点P到抛物线的对称轴的距离为$\frac{3}{2}$-$\frac{9}{7}$=$\frac{3}{14}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、矩形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会圆分类讨论的思考思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．