Question

如图，△ABC中，AB=4，BC=3，以C为圆心，CB的长为半径的圆和AC交于点D，连接BD，若∠ABD=

1

2

∠C．
（1）求证：AB是⊙C的切线；
（2）求△DAB的面积．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）由CB=CD得∠CBD=∠CDB，根据三角形内角和定理得到∠C=180°-2∠CBD，由于∠ABD=

1

2

∠C，则2∠ABD=180°-2∠CBD，即可得到∠ABD+∠CBD=90°，于是可根据切线的判定得到AB是⊙C的切线；
（2）作BE⊥AC于E，如图，先根据勾股定理计算出AC=5，则AD=AC-CD=2，再利用面积法计算出BE=

12

5

，然后根据三角形面积公式求解．

解答：（1）证明：∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠C=180°-2∠CBD，
∵∠ABD=

1

2

∠C，
∴2∠ABD=180°-2∠CBD，
∴∠ABD+∠CBD=90°，即∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴AB是⊙C的切线
（2）解：作BE⊥AC于E，如图，
在Rt△ABC中，∵AB=4，BC=3，
∴AC=

AB2+BC2

=5，
∴AD=AC-CD=5-3=2，
∵

1

2

BE•AC=

1

2

BC•AB，
∴BE=

12

5

，
∴△DAB的面积=

1

2

×2×

12

5

=

12

5

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．