题目内容

如图，在直角坐标系xOy中，以y轴为对称轴的抛物线经过直线 $数学公式$ 与y轴的交点A和点M（ $数学公式$ ，0）．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；
（2）将这条抛物线沿x轴向右平移，使其经过坐标原点．
①在题目所给的直角坐标系xOy中，画出平移后的抛物线的示意图；
②设平移后的抛物线的对称轴与直线AB（B是直线 $数学公式$ 与x轴的交点）相交于C点，判断以O为圆心、OC为半径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由；
（3）P点是平移后的抛物线的对称轴上的点，求P点的坐标，使得以O、A、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形．

解：（1）设x=0，则y=2．∴A（0，2）．
设这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：y=ax²+2．
∵过点M（- $\text{[math]}$ ，0），∴有a（- $\text{[math]}$ ）²+2=0．
解得：a=- $\text{[math]}$ ．
∴所求的这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：
y=- $\text{[math]}$ x²+2．

（2）①平移后的抛物线如图所示：
②相切．
理由：由题意和平移性质可知，平移后的抛物线的
对称轴为直线x= $\text{[math]}$ ．
∵C点是对称轴与直线AB的相交，
∴易求得点C的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
由勾股定理，可求得OC= $\text{[math]}$ ．
设原点O到直线AB的距离为d，则有 AB•d=AO•BO．
∵点A为（0，2），点B为（2 $\text{[math]}$ ，0），∴AB=4．
4d=2×2 $\text{[math]}$ ．∴d= $\text{[math]}$ =OC．
这说明，圆心O到直线AB的距离d与⊙O的半径OC相等．
∴以O为圆心、OC为半径的圆与直线AB相切．

（3）设P点的坐标为（ $\text{[math]}$ ，p）．
∵抛物线的对称轴与y轴互相平行，即AO∥PC．
∴只需PC=AO=2，即可使以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形．
由（2）知，点C的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴|P- $\text{[math]}$ |=2，∴P-2=±2．
解得 P₁= $\text{[math]}$ ，P₂=- $\text{[math]}$ ．
∴P点的坐标为P₁（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或P₂（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）首先求出A点坐标，进而利用顶点式求出二次函数解析式即可；
（2）①将二次函数抛物线向右平移即可；
②首先求出二次函数的对称轴，进而求出对称轴与直线AB的交点，求出OC的长，进而利用三角形面积得出原点O到直线AB的距离d，即可判断出以O为圆心、OC为半径的圆与直线AB的位置关系；
（3）利用平行四边形的性质得出|P- $\text{[math]}$ |=2，即可得出P-2=±2，求出P点坐标即可．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及直线与圆的位置关系和顶点式求二次函数解析式等知识，正确利用直线与圆的位置关系判定方法得出是解题关键．