Question

6．冬天来了，晒衣服成了头疼的事情，聪明的小华想到一个好办法，在家后院地面（BD）上立两根等长的立柱AB、CD（均与地面垂直），并在立柱之间悬挂一根绳子．由于挂的衣服比较多，绳子的形状近似成了抛物线y=ax²-0.8x+c，如图1，已知立柱AB=CD=2.6米，BD=8米．

（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）为了防止衣服碰到地面，小华在离AB为3米的位置处用一根垂直于地面的立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F₁的最低点距MN为1米，离地面1.6米，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以求出抛物线的解析式，从而可以求得抛物线的顶点坐标，进而得到绳子最低点离地面的距离；
（2）根据题意可以求得抛物线F₁的函数解析式，然后将x=3代入求出的函数解析式即可解答本题．

解答 解：（1）∵抛物线经过点A（0，2.6）、B（8，2.6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=2.6}\\{a×{8}^{2}-0.8×8+c=2.6}\end{array}\right.$，
解得，a=0.1，c=2.6，
∴y=0.1x²-0.8x+2.6=0.1（x-4）²+1，
∴当x=4时，y取得最小值，此时y=1，
即绳子最低点离地面的距离1米；
（2）由题意可得，抛物线F₁的顶点坐标为（2，1.6），
设抛物线F₁的函数解析式为y=a₁（x-2）²+1.6，
∵点A（0，2.6）在抛物线F₁上，
∴2.6=a₁（0-2）²+1.6，得a₁=0.25，
∴抛物线F₁的函数解析式为y=0.25（x-2）²+1.6，
当x=3时，y=0.25（3-2）²+1.6=1.85，
即MN的长是1.85米．

点评 本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式，根据函数的顶点式可以求得函数的最值．