已知二次函数y=$\frac{\sqrt{2}}{9}$x2+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$x+$\sqrt{2}$的图象与x轴.y轴交于点A.B.一次函数y=-$\sqrt{2}$x+b图象经过B点.并与x轴交于点C.若点D在x轴上.且∠BCD=∠ABD.则图象经过B.D两点的一次函数解析式为y=-$\frac{2\sqrt{2}}{5}$x+$\sqrt{2}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．已知二次函数y=$\frac{\sqrt{2}}{9}$x²+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$x+$\sqrt{2}$的图象与x轴、y轴交于点A、B，一次函数y=-$\sqrt{2}$x+b图象经过B点，并与x轴交于点C，若点D在x轴上，且∠BCD=∠ABD，则图象经过B、D两点的一次函数解析式为y=-$\frac{2\sqrt{2}}{5}$x+$\sqrt{2}$或y=4$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$．

分析首先求出点A、点B和点C的坐标，然后设点D点坐标为（a，0），利用∠BCD=∠ABD，∠BDC=∠ADB证明△BCD∽△ABD，可得$\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{AB}$，列出a的方程，求出a的值，进而得到D点的坐标，于是求出过B、D两点的一次函数解析式．

解答解：根据题意画图如右：
令y=$\frac{\sqrt{2}}{9}$x²+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$x+$\sqrt{2}$=0，
解得x=-3，
即点A坐标为（-3，0），
令x=0，y=$\sqrt{2}$，
即点B坐标（0，$\sqrt{2}$），
∵一次函数y=-$\sqrt{2}$x+b图象经过B点，
∴b=$\sqrt{2}$，
∴C点坐标为（1，0），
设点D点坐标为（a，0），
∵∠BCD=∠ABD，∠BDC=∠ADB，
∴△BCD∽△ABD，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{\sqrt{{a}^{2}+2}}{a+3}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{11}}$，
∴a=$\frac{5}{2}$或a=-$\frac{1}{4}$，
∴点D坐标为（$\frac{5}{2}$，0）或（-$\frac{1}{4}$，0），
设直线BD的解析式为y=kx+$\sqrt{2}$，
当点D坐标为（$\frac{5}{2}$，0）时，
k=-$\frac{2\sqrt{2}}{5}$，
直线BD的解析式为y=-$\frac{2\sqrt{2}}{5}$x+$\sqrt{2}$；
当点D坐标为（-$\frac{1}{4}$，0），
k=4$\sqrt{2}$，
直线BD的解析式为y=4$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$，
故答案为y=-$\frac{2\sqrt{2}}{5}$x+$\sqrt{2}$或y=4$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$．