Question

10．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为（3，0），以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从O点出发沿OC向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P，Q两点同时出发，速度均为1个单位/秒．设运动时间为t秒．
（Ⅰ）求线段BC的长；
（Ⅱ）如图①，连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F．设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围：
（Ⅲ）如图②，在（Ⅱ）的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE′F′，使点E的对应点E′落在线段AB上，点F的对应点是F′，E′F′交x轴于点G，连接PF、QG，当PF=t时，直接写出QG的长（不需写出解题过程）．

Answer 1

分析 （1）先根据等边三角形得出AB=OA=3，再根据含30°的直角三角形的性质得出BC的长；
（2）过点Q作QN∥OB交x轴于点N，再根据等边三角形的性质证明△POE和△PNQ相似，根据相似三角形得出对应边关系，得出函数关系式即可；
（3）根据PF=t，此时EF=t，得出QG的长度即可．

解答 解：（Ⅰ）∵△AOB为等边三角形，
∴∠BAC=∠AOB=60°，
∵BC⊥AB，∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°，∠OBC=30°，∠ACB=∠OBC，
∴CO=OB=AB=OA=3，
∴AC=6，
∴BC=$\sqrt{A{C^2}-A{B^2}}=\sqrt{{6^2}-{3^2}}$=$3\sqrt{3}$；
（Ⅱ）如图，过点Q作QN∥OB交x轴于点N，
∴∠QNA=∠BOA=60°=∠QAN，
∴△AQN为等边三角形，
∵BQ=t，
∴NQ=NA=AQ=3-t，
∴ON=3-（3-t）=t，
∴PN=t+t=2t，
∵OE∥QN，
∴△POE∽△PNQ，
∴$\frac{OE}{NQ}=\frac{PO}{PN}$，
即$\frac{OE}{3-t}=\frac{t}{2t}$，
∴$OE=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}t$，
∵EF∥x轴，
∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=30°，
∴EF=BE，
∴$m=BE=OB-OE=3-（\frac{3}{2}-\frac{1}{2}t）=\frac{1}{2}t+\frac{3}{2}$（0＜t＜3），
（Ⅲ）∵△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE′F′，
∴∠F′BE′=30°，
当PF=t时，EF=t，
可得：t=1，
∴AQ=2，AG=1，
可得：$QG=\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$．

点评 此题考查几何变换问题，关键是根据等边三角形的性质分析问题，同时也利用了相似三角形的判定和性质解答．