题目内容

如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-3，-1），且知点P（-1，-3）是反比例函数图象上的点：
（1）分别求出正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）作PA⊥x轴，垂足为A，当点Q在直线MO上运动时，作QB⊥y轴，垂足为B，问：直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的?OPCQ，求?OPCQ周长的最小值以及取得最小值时点Q的坐标．

解：（1）设正比例函数解析式为y=kx，将点M坐标代入得 $\text{[math]}$ ，
所以正比例函数解析式为 $\text{[math]}$ ；
同样可得，反比例函数解析式为 $\text{[math]}$ ．

（2）当点Q在直线MO上运动时，设点Q的坐标为Q（m， $\text{[math]}$ ），
由S_△OBQ= $\text{[math]}$ |OB•BQ|= $\text{[math]}$ ×| $\text{[math]}$ m•m|= $\text{[math]}$ ，
而S_△OAP= $\text{[math]}$ ×1×3= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得：m=±3，所以点Q的坐标为Q₁（3，1）和Q₂（-3，-1）．

（3）因为四边形OPCQ是?，所以OP=CQ，OQ=PC，
∵P（-1，-3）是定点，OP是定长，所以求?OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．
因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q（n， $\text{[math]}$ ），
由勾股定理可得：OQ²= $\text{[math]}$ ．
配方得OQ²= $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 时，OQ²有最小值6，这时Q（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
又因为OQ为正值，所以OQ有最小值 $\text{[math]}$ ．
由勾股定理得OP= $\text{[math]}$ ，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设正比例函数解析式为y=kx，将点M坐标代入可得k的值，同理代入数据可得反比例函数的关系式，
（2）设点Q的坐标为Q（m， $\text{[math]}$ ，由△OBQ与△OAP面积相等，可得关系式，进而可得m的值，代入可得Q₁与Q₂的坐标；
（3）因为四边形OPCQ是□，所以OP=CQ，OQ=PC，可得P的坐标，设点Q的坐标为Q（n， $\text{[math]}$ ），分析可得求□OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值，进而可得OQ的二次关系式，解可得答案．
点评：本题考查了反比例函数的图象的性质以及其与直线的关系，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．