题目内容
如图，已知正比例函数y=ax与反比例函数y=| k | x |
（1）求上述两函数的表达式；
（2）M（m，n）是反比例函数图象上的一个动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A点作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．若s四边形OADM=6，求点M的坐标，并判断线段BM与DM的大小关系，说明理由；
（3）探索：x轴上是否存在点P．使△OAP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标； 若不存在，说明理由．
分析：（1）将A（3，2）分别代入y=
，y=ax中，得ak的值，进而可得正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）由S△OMB=S△OAC=
|k|=3，可得S矩形OBDC=12；即OC•OB=12；进而可得mn的值，故可得BM与DM的大小；比较可得其大小关系；
（3）存在．由（2）可知D（3，4），根据矩形的性质得A（3，2），分为OA为等腰三角形的腰，OA为等腰三角形的底，分别求P点坐标．
| k |
| x |
（2）由S△OMB=S△OAC=
| 1 |
| 2 |
（3）存在．由（2）可知D（3，4），根据矩形的性质得A（3，2），分为OA为等腰三角形的腰，OA为等腰三角形的底，分别求P点坐标．
解答：解：（1）将A（3，2）分别代入y=
，y=ax中，得：2=
，3a=2
∴k=6，a=
，
∴反比例函数的表达式为：y=
，
正比例函数的表达式为y=
x；
（2）BM=DM
理由：∵S△OMB=S△OAC=
×|k|=3
∴S矩形OBDC=S四边形OADM+S△OMB+S△OAC=3+3+6=12
即OC•OB=12
∵OC=3
∴OB=4
即n=4
∴m=
=
，即点M的坐标为（
，4）
∴MB=
，MD=3-
=
，
∴MB=MD；
（3）存在．
由（2）得A（3，2），OA=
=
当OA为等腰三角形的腰时，P（
，0）或（-
，0）或（6，0），
当OA为等腰三角形的底，P（
，0）．
∴满足条件的P点坐标为（
，0）或（-
，0）或（6，0）或（
，0）．
| k |
| x |
| k |
| 3 |
∴k=6，a=
| 2 |
| 3 |
∴反比例函数的表达式为：y=
| 6 |
| x |
正比例函数的表达式为y=
| 2 |
| 3 |
（2）BM=DM
理由：∵S△OMB=S△OAC=
| 1 |
| 2 |
∴S矩形OBDC=S四边形OADM+S△OMB+S△OAC=3+3+6=12
即OC•OB=12
∵OC=3
∴OB=4
即n=4
∴m=
| 6 |
| n |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴MB=
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴MB=MD；
（3）存在．
由（2）得A（3，2），OA=
| 32+22 |
| 13 |
当OA为等腰三角形的腰时，P（
| 13 |
| 13 |
当OA为等腰三角形的底，P（
| 13 |
| 6 |
∴满足条件的P点坐标为（
| 13 |
| 13 |
| 13 |
| 6 |
点评：此题综合考查了反比例函数，正比例函数等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．
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