题目内容

如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m的值和这个一次函数的解析式；
（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；
（4）在第（3）问的条件下，二次函数在第一象限的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S1与四精英家教网边形OABD的面积S满足：S1=
23
S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）设出正比例函数和反比例函数的解析式，用待定系数发解答；
（2）因为B点为三个函数的交点，将B（6，m）代入已知函数y=
9
x
，即可求得m的值；根据一次函数和正比例函数平行，可知二者比例系数相同，再用待定系数法求出b的值；
（3）A、B坐标已求出，D点坐标可根据一次函数解析式求得；
（4）画出图形，根据已知各点坐标，求出相应线段长．由于四边形不规则，故将其面积转化为矩形面积与三角形面积的差或几个三角形面积的和．
解答：解：（1）设正比例函数的解析式为y=k1x（k1≠0），
因为y=k1x的图象过点A（3，3），
所以3=3k1，解得k1=1．
这个正比例函数的解析式为y=x．
设反比例函数的解析式为y=
k2
x
（k2≠0），
因为y=
k2
x
的图象过点A（3，3），
所以3=
k2
3
，
解得k2=9．
这个反比例函数的解析式为y=
9
x
．（2分）

（2）因为点B（6，m）在y=
9
x
的图象上，
所以m=
9
6
=
3
2
，
则点B（6，
3
2
）．（3分）
设一次函数解析式为y=k3x+b（k3≠0），
因为y=k3x+b的图象是由y=x平移得到的，
所以k3=1，即y=x+b．
又因为y=x+b的图象过点B（6，
3
2
），
所以
3
2
=6+b，
解得b=-
9
2
，
∴一次函数的解析式为y=x-
9
2
．

（3）因为y=x-
9
2
的图象交y轴于点D，
所以D的坐标为（0，-
9
2
）．
设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．
因为y=ax2+bx+c的图象过点A（3，3）、B（6，
3
2
）、和D（0，-
9
2
），
所以
9a+3b+c=3
36a+6b+c=
3
2
c=-
9
2
，
解得
a=-
1
2
b=4
c=-
9
2
，
这个二次函数的解析式为y=-
1
2
x2+4x-
9
2
．（6分）

（4）∵y=x-
9
2
交x轴于点C，
∴点C的坐标是（
9
2
，0），
如图所示，连接OE，CE，过点A作AF∥x轴，交y轴于点F，过点B作BH∥y轴，交AF于点H，过点D作DG∥x轴，交直线BH于点G，则S=
15
2
×6-
1
2
×6×6-
1
2
×
3
2
×3-
1
2
×3×3=45-18-
9
4
-
9
2
=
81
4
．
假设存在点E（x0，y0），使S1=
2
3
S=
81
4
×
2
3
=
27
2
．
∵四边形CDOE的顶点E只能在x轴上方，精英家教网
∴y0＞0，
∴S1=S△OCD+S△OCE=
1
2
×
9
2
×
9
2
+
1
2
×
9
2
•y0=
81
8
+
9
4
y0．
∴
81
8
+
9
4
y0=
27
2
，
∴y0=
3
2
．（7分）
∵E（x0，y0）在二次函数的图象上，
∴-
1
2
x
2
0
+4x0-
9
2
=
3
2
．
解得x0=2或x0=6．
当x0=6时，点E（6，
3
2
）与点B重合，这时CDOE不是四边形，故x0=6舍去，
∴点E的坐标为（2，
3
2
）．（8分）
点评：此题将初中所学三个主要函数：一次函数（含正比例函数）、反比例函数、二次函数结合起来，考查了用待定系数法求函数解析式、函数与坐标的关系及不规则图形面积的求法，综合性较强，难度适中．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，已知正比例函数y=ax与反比例函数y=
kx
的图象交于点A（3，2）
（1）求上述两函数的表达式；
（2）M（m，n）是反比例函数图象上的一个动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A点作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．若s四边形OADM=6，求点M的坐标，并判断线段BM与DM的大小关系，说明理由；
（3）探索：x轴上是否存在点P．使△OAP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标； 若不存在，说明理由．
如图，已知正比例函数y=3x与反比例函数y=
kx
(k≠0)的图象都经过点A和点B，点A的横坐精英家教网标为1，过点A作x轴的垂线，垂足为M，连接BM．
求：（1）这个反比例函数的解析式；
（2）△ABM的面积．
精英家教网如图，已知正比例函数y=kx的图象经过点A（-2
3
，a），过点A作AB⊥x轴于点B，△A0B的面积为4
3
．
（1）求k和a的值；
（2）若一次函数y=nx+2的图象经过点A，并且与X轴相交于点M，问：在x轴上是否存在点P，使得以三点P、A、M组成的三角形AMP为等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
精英家教网如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m的值和这个一次函数的解析式；
（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的三角形的面积．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网