Question

2．已知四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE=AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F．
（1）如图1，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF=EF；
（2）如图2，当E不在CD的延长线上时，BF=EF还成立吗？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）①利用SAS证全等；
②易证得：BC∥FH和CH=HE，根据平行线分线段成比例定理得BF=EF，也可由三角形中位线定理的推论得出结论．
（2）作辅助线构建平行线和全等三角形，首先证明△MAE≌△DAC，得AD=AM，根据等量代换得AB=AM，根据②同理得出结论．

解答 证明：（1）①如图1，
∵AB⊥AD，AE⊥AC，
∴∠BAD=90°，∠CAE=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABC和△ADE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠1=∠2}\\{AC=AE}\end{array}\right.$
∴△ABC≌△ADE（SAS）；

②如图1，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠AEC=∠3，
在Rt△ACE中，∠ACE+∠AEC=90°，
∴∠BCE=90°，
∵AH⊥CD，AE=AC，
∴CH=HE，
∵∠AHE=∠BCE=90°，
∴BC∥FH，
∴$\frac{BF}{FE}$=$\frac{CH}{HE}$=1，
∴BF=EF；

（2）结论仍然成立，理由是：
如图2所示，过E作MN∥AH，交BA、CD延长线于M、N，
∵∠CAE=90°，∠BAD=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠1+∠CAD=90°，
∴∠2=∠CAD，
∵MN∥AH，
∴∠3=∠HAE，
∵∠ACH+∠CAH=90°，∠CAH+∠HAE=90°，
∴∠ACH=∠HAE，
∴∠3=∠ACH，
在△MAE和△DAC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠CAD}\\{AE=AC}\\{∠3=∠ACH}\end{array}\right.$
∴△MAE≌△DAC（ASA），
∴AM=AD，
∵AB=AD，
∴AB=AM，
∵AF∥ME，
∴$\frac{BF}{EF}$=$\frac{AB}{AM}$=1，
∴BF=EF．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例的性质，本题的关键是能正确找出全等三角形；在几何图形中证明线段相等或已知线段相等的一般思路是：①证明相等线段所在的三角形全等；②利用相等线段的比值为1证相等．