题目内容
【题目】若二次函数
和
的图象关于原点成中心对称，我们就称其中一个函数是另一个函数的中心对称函数，也称函数
和
互为中心对称函数．
求函数
的中心对称函数；
如图，在平面直角坐标系xOy中，E，F两点的坐标分别为
，
，二次函数
的图象经过点E和原点O，顶点为
已知函数和互为中心对称函数；
请在图中作出二次函数的顶点
作图工具不限
，并画出函数的大致图象；
当四边形EPFQ是矩形时，请求出a的值；
已知二次函数
和互为中心对称函数，且的图象经过的顶点当
时，求代数式
的最大值．
【答案】
；
画图见解析；
a的值为
；
当
时，
有最大值，最大值为3．
【解析】
利用配方法得到
，则此抛物线的顶点坐标为
，利用中心对称的性质得点关于原点对称的点的坐标为
，然后利用顶点式写出函数
的中心对称函数解析式；
作P点关于原点的对称点得到q点，然后大致画出顶点为Q，经过原点和F点的抛物线；
利用矩形的性质得
，则利用抛物线的对称性得到
，则可判定
为等边三角形，作
于H，如图，易得
，
，所以
，设交点式
，然后把P点坐标代入即可得到a的值；
把
化为顶点式得到抛物线
的顶点坐标为
，利用关于原点对称的点的坐标特征得到抛物线
的顶点坐标为
，再把代入得
，所以
，然后利用二次函数的性质解决问题．
，
此抛物线的顶点坐标为，
点关于原点对称的点的坐标为，
函数的中心对称函数为
，即
；
如图，
四边形EPFG为矩形，
，
而，
为等边三角形，
作于H，如图，
则，，
，
设二次函数的解析式为，
把代入得
，解得
，
即a的值为；
，
抛物线的顶点坐标为，
抛物线的顶点与抛物线的顶点关于原点对称，
抛物线的顶点坐标为，
把代入得
，解得，
，
当时，有最大值，最大值为3．
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