Question

13．如图，边长为4的正方形ABCD外有一点E，∠AEB=90°，F为DE的中点，连接CF，则CF的最大值为$\sqrt{13}$+1．

Answer 1

分析 先确定其CF最大值的位置，作辅助线，构建中点和中位线，求出∠HFG=90°，则点F在以GH为直径的半圆上运动，则CF最大时，是经过圆心I，即CF′最大，根据条件求出CI的长，就可以得出结论．

解答 解：连接BD，取BD、AD的中点为H、G，连接FH、GF，
∵F为DE的中点，
∴FH是△BDE的中位线，FG是△ADE的中位线，
∴FH∥BE，FG∥AE，
∴∠HFD=∠BED，∠GFD=∠AED，
∵∠AEB=90°，
∴∠BED+∠AED=90°，
∴∠HFD+∠GFD=90°，
∴∠HFG=90°，
∴点F在以GH为直径的半圆上运动，
取GH的中点I，
则CF最大时，是经过圆心I，
∵GH是△ABD的中位线，
∴GH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴GI=1，
过I作IM⊥CD于M，
在Rt△CIM中，CM=4-1=3，IM=2，
由勾股定理得：CI=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴CF′=$\sqrt{13}$+1，
故答案为：$\sqrt{13}$+1．

点评 本题考查了正方形的性质，也是线段最值问题，此类题都较难，利用了90°的圆周角所对的弦是直径，构建恰当的辅助线和辅助圆，将四边形与圆中的性质相结合，使问题得以解决．