Question

【题目】在△ABC中，∠ABC为锐角，点M为射线AB上一动点，连接CM，以点C为直角顶点，以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN，连接NB．

（1）如图1，图2，若△ABC为等腰直角三角形，

问题初现：①当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，则线段BN，AM之间的位置关系是　 　，数量关系是　 　；

深入探究：②当点M在线段AB的延长线上时，判断线段BN，AM之间的位置关系和数量关系，并说明理由；

（2）如图3，∠ACB≠90°，若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，MP⊥CM交线段BN于点P，且∠CBA＝45°，BC＝，当BM＝　 　时，BP的最大值为　 　．

Answer 1

【答案】（1）①AM⊥BN，AM＝BN；②AM与BN位置关系是AM⊥BN，数量关系是AM＝BN，见解析；（2）2，1.

【解析】

（1）问题初现：①由“SAS”证明△ACM≌△BCN，可得结论；

深入探究：②由“SAS”证明△ACM≌△BCN，可得结论；

（2）过点C作CE⊥AB于点E，过点N作NF⊥CE于点F，则FN∥AB，通过证明四边形FNBE是矩形，可得CE＝BE＝4，∠CEM＝∠ABN＝90°，通过证明△CEM∽△MBP，可得，即BP＝=﹣（BM﹣2）2+1，由二次函数的性质可求解．

解：（1）问题初现：①AM与BN位置关系是AM⊥BN，数量关系是AM＝BN．

理由：∵△ABC，△CMN为等腰直角三角形，

∴∠ACB＝∠MCN＝90°，AC＝BC，CM＝CN，∠CAB＝∠CBA＝45°

∴∠ACM＝∠BCN，且 AC＝BC，CM＝CN，

∴△ACM≌△BCN （SAS）

∴∠CAM＝∠CBN＝45°，AM＝BN．

∵∠CAB＝∠CBA＝45°，

∴∠ABN＝45°+45°＝90°，即 AM⊥BN

故答案为：AM⊥BN； AM＝BN；

深入探究：②当点M在线段AB的延长线上时，AM与BN位置关系是AM⊥BN，数量关系是AM＝BN．

理由如下：如图，

∵△ABC，△CMN为等腰直角三角形，

∴∠ACB＝∠MCN＝90°，AC＝BC，CM＝CN，∠CAB＝∠CBA＝45°

∴∠ACM＝∠BCN，且 AC＝BC，CM＝CN，

∴△ACM≌△BCN （SAS）

∴∠CAM＝∠CBN＝45°，AM＝BN．

∵∠CAB＝∠CBA＝45°，

∴∠ABN＝45°+45°＝90°，即 AM⊥BN；

（2）如图，过点C作CE⊥AB于点E，过点N作NF⊥CE于点F，则FN∥AB

∵△MCN是等腰直角三角形

∴CM＝CN，∠MCN＝90°

∴∠ECM+∠FCN＝90°，且∠ECM+∠CME＝90°

∴∠FCN＝∠CME，且CM＝CN，∠F＝∠CEM＝90°

∴△CNF≌△CME（AAS）

∴FN＝EC，EM＝CF

∵BC＝，CE⊥AB，∠CBA＝45°

∴CE＝BE＝4，

∴FN＝BE＝CE，且FN∥BA

∴四边形FNBE是平行四边形，且∠F＝90°

∴四边形FNBE是矩形

∴∠CEM＝∠ABN＝90°

∴∠PMB+∠MPB＝90°

∵CM⊥MP

∴∠CME+∠PMB＝90°

∴∠CME＝∠MPB，且∠CEM＝∠ABN＝90°

∴△CEM∽△MBP

∴

∴BP＝＝﹣（BM﹣2）2+1

∴当BM＝2时，BP有最大值为1．

故答案为：2，1