Question

【题目】如图①，在中，为边上一点，过点作交于点，连接，为的中点，连接．

（观察猜想）

（1）①的数量关系是___________

②的数量关系是______________

（类比探究）

（2）将图①中绕点逆时针旋转，如图②所示，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（拓展迁移）

（3）将绕点旋转任意角度，若，请直接写出点在同一直线上时的长．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）成立，证明见解析；（3）的长为或

【解析】

（1）①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到答案；

②由①知，利用等边对等角和三角形的外角性质，得到，，然后即可得到答案；

（2）①过点作交的延长线于点，EF与交于点，利用等腰直角三角形的性质，证明，即可得到结论成立；

②由全等三角形的性质，求出∠OEC=90°，即可得到结论成立；

（3）根据旋转的性质，点在同一直线上可分为两种情况：①点C在线段OB上；②点C在OB的延长线上；利用等腰直角三角形的性质，分别求出OE的长度，即可得到答案.

解：（1）如图，在△AOD和△ACD中，

∵，为AD中点，

，

，E为AD中点，

，

；

②，为AD中点，

，

∴；

同理可得：，

，

．

（2）成立．

证明：①如图，过点作交的延长线于点与交于点，

∵是等腰三角形，

∴

∵，

∴，

∴，

∴均为等腰直角三角形，

∴，

又∵，

∴，

∴；

②，

∴，

，

，

；

（3）的长为或；

∵在等腰直角中，，

，

由（2）可知，，，

∴是等腰直角三角形，

∴；

当点在同一直线上时，有

①点C在线段OB上；如图：

∴，

∴；

②点C在OB的延长线上；如图：

∴，

∴；

综上所述，的长为或；